７章 再帰を用いた作図（２）
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ｎ次のC曲線は(n-1)次のC曲線と、90度回転させた(n-1)次のC曲線とで構成される。
出力例： ８次のＣ曲線（左）と１０次のＣ曲線（右）
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プログラム）
（先頭部分省略）
var
Form1: TForm1;
pi : real = 3.1415;
len : real = 5;
xs, ys, yc : integer;
procedure ccurv( n : integer; angle: real );
implementation
{$R *.DFM}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var n : integer;
angle : real;
begin
xs := 200; ys := 50;
yc := 350;
n := StrToInt(Edit1.Text);
angle := 0;
ccurv( n, angle );
end;
procedure ccurv( n : integer; angle: real );
var th : real;
x2, y2 : integer;
begin
if n = 0 then begin
th := pi * angle / 180;
x2 := xs + round( len * cos(th) );
y2 := ys + round( len * sin(th) ); //→三角比の計算は８章で
Form1.Canvas.MoveTo( xs, yc - ys );
Form1.Canvas.LineTo( x2, yc - y2 );
xs := x2;
ys := y2;
end else begin
ccurv( n-1, angle );
angle := angle + 90;
ccurv( n-1, angle );
angle := angle - 90;
end;
end;
end.
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補足説明１： 手続きccurvでは、引数ｎの値が０になったときにのみ一本の線を描く。
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補足説明２： 再帰の処理の流れ（n=2の場合）を以下に示す。引数で受取るｎの値が０になるまで、手続きccurvは自分自身を呼び出し続けることに注意。
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コッホ曲線は、数学者のコッホ(Koch)によって発見されたもので、次のような手続きによって描かれる。
(1) ０次のコッホ曲線は長さLの直線である。
(2) １次のコッホ曲線は、１辺の長さがL/3の大きさの正三角形の突起を出す。
(3) ２次のコッホ曲線は、１次のコッホ曲線の各辺（４個）に対して、１辺の長さがL/9の正三角形の突起を出す。
以上を無限回繰り返せば、無限小の長さの線分が無限本つながった曲線となる。
出力例： ７次のコッホ曲線
プログラム）
var
Form1: TForm1;
pi : real = 3.1415;
angle, xs, ys : real;
xc , yc : integer;
procedure koch( n: integer; len: real );
implementation
{$R *.DFM}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
i, n : integer;
len : real;
begin
xc := 50; yc := 300;
xs := 0; ys := 0;
angle := 0;
n := StrToInt(Edit1.Text);
len := 450;
for i := 1 to n do len := len / 3;
koch( n, len );
end;
procedure koch( n: integer; len: real );
var
th : real;
x2, y2 : real;
begin
if n = 0 then
begin
th := pi * angle / 180;
x2 := xs + len * cos(th);
y2 := ys + len * sin(th);
Form1.Canvas.MoveTo( xc + round(xs), yc - round(ys) );
Form1.Canvas.LineTo( xc + round(x2), yc - round(y2) );
xs := x2;
ys := y2;
end else
begin
koch( n-1, len );
angle := angle + 60;
koch( n-1, len );
angle := angle - 120;
koch( n-1, len );
angle := angle + 60;
koch( n-1, len );
end;
end;
end.
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補足説明１： 手続きkochにおいて、正三角形の突起を出すときに、傾き角が最初は60度増加し、次に120度減少し、もとにもどるときに60度増加する。下図を参照して対応付けを確認すること。
procedure koch( n: integer; len: real );
. . . . . .
begin
koch( n-1, len );
angle := angle + 60;
koch( n-1, len );
angle := angle - 120;
koch( n-1, len );
angle := angle + 60;
koch( n-1, len );
end;
end;
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コッホ曲線を -120度の角度をなして３個つなげると、雪の結晶のような形をした、コッホ島
と呼ばれる図形を描くことが出来る。
例）１次のコッホ島
出力例： ３次のコッホ島（左）と５次のコッホ島（右）
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プログラム）
ボタンのイベントハンドラの部分を以下のように変更すると、コッホ島を描くことができる。
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var i, n, k : integer;
len, th, xe, ye : real;
begin
xc := 150; yc := 150;
xs := 0; ys := 0;
angle := 0;
n := StrToInt(Edit1.Text);
for k := 1 to 3 do begin
len := 200;
th := pi * angle / 180;
xe := xs + len * cos(th) ;
ye := ys + len * sin(th) ;
for i := 1 to n do len := len / 3;
koch( n, len );
xs := xe; ys := ye;
angle := angle - 120;
end;
end;
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補足説明２：
コッホ島は、３本のコッホ曲線の集まりである。上記のプログラムで、手続きkochを３回呼び出す際に、作図の開始点と、曲線の傾きが下図のように変化している。
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(1) ０次のクロスステッチは、長さLの直線である。
(2) １次のクロスステッチは、１辺の長さがL/3の正方形の突起を出す。
(3) ２次のクロスステッチは、１次のクロスステッチの各辺（５個）に対して、１辺の長さがL/9の正方形の突起を出す。
以上を、無限回繰り返せば、無限小の長さの線分が無限本つながったクロスステッチが出来る。
上記のクロスステッチを９０度ずつ傾けて４個つなげると下図に示すような模様が出来上がる。
出力例： ３次のクロスステッチ模様
出力例： ４次のクロスステッチの模様
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プログラム：
（先頭部分省略）
var
Form1: TForm1;
pi : real = 3.1415;
angle, th, xs, ys, x2, y2 : real;
xc, yc : integer;
procedure stitch( n:integer; len:real );
implementation
{$R *.DFM}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var i, k, n : integer;
len : real;
begin
angle := 0;
xs := 0; ys := 0;
xc := 150; yc := 150;
n := StrToInt(Edit1.Text);
len := 150;
for i := 1 to n do len := len / 3;
for k := 1 to 4 do begin
stitch( n, len );
angle := angle - 90;
end;
end;
procedure stitch( n:integer; len:real );
begin
if n=0 then begin
th := pi * angle / 180;
x2 := xs + len * cos(th);
y2 := ys + len * sin(th);
Form1.Canvas.MoveTo( xc + round(xs), yc - round(ys) );
Form1.Canvas.LineTo( xc + round(x2), yc - round(y2) );
xs := x2; ys := y2;
end else begin
stitch( n-1, len );
angle := angle + 90;
stitch( n-1, len );
angle := angle - 90;
stitch( n-1, len );
angle := angle - 90;
stitch( n-1, len );
angle := angle + 90;
stitch( n-1, len );
end;
end;
end.
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補足説明１：
下図は０次から２次までのクロスステッチを重ね合わせて描いた図である。４個のクロスステッチを、始点と終点の位置をずらせながら、90度ずつ負の方向に傾けて描いている。０次から2次に至るいずれの場合にも、クロスステッチの始点と終点は同じであることに注意。
このとき、手続きを呼び出す側は以下のように作図の繰返しを指定している。
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
{. . . . . .}
begin
angle := 0;
{. . . . . .}
len := 150; //（線分の長さの指定）
for i := 1 to n do len := len / 3; //（次数に対応して線分の長さを計算）
for k := 1 to 4 do //（４回繰返し）
begin
stitch( n, len );
angle := angle - 90; //（負の方向に90度傾ける）
end;
end;
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出力例： ５次のクロスステッチ模様を２つ組合わせたもの
注）開始位置と線分の長さを変え、手続きstitchを呼び出して重ね描きを行なう。
→解説へ
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出力例： ５次のクロスステッチ模様を３個組み合わせたもの。
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７−５ 再帰を用いた簡単な作図例（図形の座標系から画面座標系への変換）
以下の例で、図形の原点と画面上の原点との対応付けを復習しておこう。
この図を描くためのプログラムは次の通りである。
（先頭部分省略）
var
Form1: TForm1;
xc, yc : integer; //（作図の中心位置）
procedure rectangle_draw(xs, ys: integer; len:real);//（長方形を描く手続きの宣言）
implementation
{$R *.DFM}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
len : real;
xs, ys : integer;
begin
xc := 300;
yc := 300;
len := 200;
xs := 0;
ys := 0;
rectangle_draw(xs, ys, len);
end;
procedure rectangle_draw(xs, ys : integer; len:real);
var xe, ye, w : integer;
begin
w := round(len);
xe := xs + w;
ye := ys + w;
if ( len > 3 ) then begin
Form1.Canvas.Rectangle(xs+xc,yc-ys,xe+xc,yc-ye);
len := len / 2;
rectangle_draw(xs,ys,len);
end;
end;
end.
※ Canvas.Rectangleの座標の与え方が、前回の例とは異なっていることに注意しよう。